Trisecteur de Bergery

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Un tomahawk, avec son manche et sa pointe épaissis

Le trisecteur de Bergery ou tomahawk est un outil de géométrie pour la trisection d'angle, le problème de diviser un angle en trois parties égales. Les éléments important de sa forme comprennent un demi-cercle et deux segments, disposés de telle façon que la silhouette ressemble à un tomahawk, une hache amérindienne[1],[2].

Le nom de trisecteur de Bergery fair référence à Claude Lucien Bergery qui en fait un description dès le début du XIXe siècle. Le même outil a également été appelé couteau de cordonnier[3], mais ce nom est plus couramment utilisé en géométrie pour désigner une forme différente, l'arbelos (un triangle curviligne délimité par trois demi-cercles mutuellement tangents)[4].

Description[modifier | modifier le code]

La forme de base d'un tomahawk se compose d'un demi-cercle (la "lame" du tomahawk), avec un segment de la longueur du rayon en prolongement du diamètre du demi-cercle (dont l'extrémité est la "pointe". du tomahawk), et avec un autre segment de longueur arbitraire (le « manche » du tomahawk) perpendiculaire au diamètre. Afin d'en faire un outil physique, son manche et sa pointe peuvent être épaissis, à condition que le segment le long du manche continue de faire partie de la limite de la forme. Contrairement à une trisection associée utilisant une équerre de charpentier, l'autre côté du manche épaissi n'a pas besoin d'être parallèle à ce segment[1] .

Dans certaines sources, un cercle complet plutôt qu'un demi-cercle est utilisé[5], ou le tomahawk est également épaissi le long du diamètre de son demi-cercle[6], mais ces modifications ne font aucune différence dans l'action du tomahawk en tant que trisecteur.

Trisection[modifier | modifier le code]

Un tomahawk coupant un angle en trois . La poignée AD forme une trisectrice et la ligne pointillée AC jusqu'au centre du demi-cercle forme l'autre.

Pour utiliser le tomahawk, la ligne du manche doit passer par le sommet de l'angle, avec la lame à l'intérieur de l'angle, tangente à l'un des deux rayons formant l'angle, et avec la pointe touchant l'autre rayon de l'angle. L’une des deux lignes trisectrices correspond alors à la ligne du manche et l’autre est la droite passant par le sommet de l'angle et le centre du demi-cercle[1],[6]. Si l'angle à couper est trop aigu par rapport à la longueur du manche du tomahawk, il se peut qu'il ne soit pas possible d'ajuster le tomahawk dans l'angle de cette manière, mais cette difficulté peut être contournée en doublant l'angle à plusieurs reprises jusqu'à ce qu'il soit grand. assez pour que le tomahawk le coupe en trois, puis diviser en deux l'angle trisecté le même nombre de fois que l'angle d'origine a été doublé[2].

Si le sommet de l'angle est étiqueté A, le point de tangence de la lame est B, le centre du demi-cercle est C, le haut du manche est D et la pointe est E, alors les triangles △ACD et △ADE sont deux triangles rectangles ayant une base commune et une hauteur égale, ce sont donc des triangles égaux . Parce que les côtés AB et BC du triangle △ABC sont respectivement une tangente et un rayon du demi-cercle, ils sont perpendiculaires l'un à l'autre et △ABC est aussi un triangle rectangle ; il a la même hypoténuse que △ACD et les mêmes longueurs de côté BC = CD, donc encore une fois il est égal aux deux autres triangles, montrant que les trois angles formés au sommet sont égaux[5],[6].

Bien que le tomahawk puisse lui-même être construit à l'aide d'un compas et d'une règle[7], et puisse être utilisé pour couper un angle, il ne contredit pas le Théorème de Wantzel de 1837 selon lequel des angles arbitraires ne peuvent pas être coupés en trois uniquement avec un compas et une règle non marquée[8]. La raison en est que placer le tomahawk construit dans la position requise est une forme de neusis qui n'est pas autorisée dans les constructions à la règle et au compas.

Origine[modifier | modifier le code]

L'inventeur du tomahawk est inconnu, mais les premières références à ce sujet proviennent de la France du XIXe siècle. Elle remonte au moins à 1835, puisqu’il est mentionné dans un livre de Claude Lucien Bergery, Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers (3e édition)[1],[9] C'est la raison pour laquelle on trouve le nom de «trisecteur de Bergery» pour cet instrument[10]. Bergery en attribue la conception à des ouvriers de Metz, c'est pourquoi on trouve aussi le nom de trisecteur des ouvriers messins[11]. Une autre mention de la même trisection apparait dans un article de Henri Brocard en 1877[12] ; Brocard mentionne à un mémoire de 1863 de l'officier de marine français Pierre-Joseph Glotin[13],[14]. On trouve donc aussi trisecteur de Glotin pour le nom de cet instrument[11].

Multisecteur[modifier | modifier le code]

Multisecteur de Glotin pour découper un angle en 5 parties égales (animation)

Pierre-Joseph Glotin poursuit l'idée exposée par Bergery pour présenter des outils capables de diviser un angle en 2n + 3 parties[15].

Par exemple, pour diviser un angle en 5 parties, il suffit d'ajouter au trisecteur de Bergery une nouvelle barre en T, articulée à la pointe du trisecteur de Bergery. La barre du T ayant une longueur de 2r et l'axe du T passant par le sommet A de l'angle à découper en 5. La nouvelle pointe doit s'appuyer sur une des demi-droites de l'angle et le demi-cercle doit s'appuyer sur l'autre demi-droite.

Pour découper en 2n + 3 parties il suffit de mettre bout à bout n barres en T de cette sorte.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ a b c et d (en) Robert C. Yates, « The Trisection Problem, Chapter III: Mechanical trisectors », National Mathematics Magazine, vol. 15, no 6,‎ , p. 278–293 (DOI 10.2307/3028413, JSTOR 3028413, MR 1569903).
  2. ↑ a et b (en) Martin Gardner, Mathematical Carnival: from penny puzzles, card shuffles and tricks of lightning calculators to roller coaster rides into the fourth dimension, Knopf, , 262–263 p..
  3. ↑ Underwood Dudley, The Trisectors, Cambridge University Press, , 14–16 p. (ISBN 9780883855140).
  4. ↑ (en) Claudi Alsina et Roger B. Nelsen, « Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics : 9.4 The shoemaker's knife and the salt cellar », Dolciani Mathematical Expositions, Mathematical Association of America, vol. 42,‎ , p. 147–148 (ISBN 9780883853481).
  5. ↑ a et b (en) Bruce E. Meserve, Fundamental Concepts of Algebra, Courier Dover Publications, (ISBN 9780486614700, lire en ligne), p. 244.
  6. ↑ a b et c (en) I. Martin Isaacs, « Geometry for College Students », Pure and Applied Undergraduate Texts, American Mathematical Society, vol. 8,‎ , p. 209–210 (ISBN 9780821847947).
  7. ↑ (en) Howard Whitley Eves, College Geometry, Jones & Bartlett Learning, (ISBN 9780867204759, lire en ligne), p. 191.
  8. ↑ L. Wantzel, « Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas », Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 1, no 2,‎ , p. 366–372 (lire en ligne).
  9. ↑ Claude Lucien Bergery, Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers (3e édition), Metz, Mme Thiel, (lire en ligne), p. 132
  10. ↑ « Trisecteur de Bergery (Glossaire) », sur publimath.univ-irem.fr
  11. ↑ a et b Jacques Borowczyk, « Atelier du dimanche : DI-16 Construire des demi-droites partageant un angle en parties égales (vs Bergery, Glotin) », Bulletins de l'Apmep, no 140- Spéciales journées nationales 2008,‎ (lire en ligne)
  12. ↑ H. Brocard, « Note sur la division mécanique de l'angle », Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 5,‎ , p. 43–47 (lire en ligne).
  13. ↑ Pierre-Joseph Glotin, « De quelques moyens pratiques de diviser les angles en parties égales », Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, vol. 2,‎ , p. 253–278 (lire en ligne).
  14. ↑ (en) Walt Whitman, « Préface », dans Gerge E. Martin, Geometric Constructions, Springer-Verlag, (lire en ligne)
  15. ↑ Pierre-Joseph Glotin, « De quelques moyens pratiques de diviser les angles en parties égales », dans Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, vol. 2, (lire en ligne), p. 253-278

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